2024年?yáng)|北林業(yè)大學(xué)非全日制研究生招生考試《高等代數(shù)》考試大綱
考試內(nèi)容范圍:
一、一元多項(xiàng)式
1. 一元多項(xiàng)式的定義和基本運(yùn)算；
2. 多項(xiàng)式的帶余除法與綜合除法，多項(xiàng)式整除性的常用性質(zhì)；
3. 多項(xiàng)式的最大公因式概念及性質(zhì)，輾轉(zhuǎn)相除法；
4. 不可約多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)，多項(xiàng)式的唯一因式分解定理，多項(xiàng)式的重因式；
5. 多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根的概念及性質(zhì)；
6. 代數(shù)基本定理，復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解定理；
7. 整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根，Eisenstein 判別法。
二、行列式
1. 線性方程組和行列式的關(guān)系，逆序數(shù)、排列、n 階行列式定義，子式和代數(shù)余子式定義；
2. 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式；
3. 行列式依行依列展開(kāi)；
4. 克拉默法則。
三、線性方程組
1. 利用消元法求解線性方程組；
2. 矩陣的秩的概念，用矩陣的初等變換求秩；
3. 線性方程組可解的判別法。
四、矩陣
1. 矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算法則；
2. 逆矩陣概念，矩陣可逆的判定條件及可逆矩陣的性質(zhì)，求可逆矩陣的逆矩陣的方法；
3. 矩陣的分塊法，分塊矩陣的運(yùn)算法則。
五、向量空間
1. 向量空間及子空間的定義；
2. 向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義，向量組線性相關(guān)性的判定條件和性質(zhì)，向量組的極大無(wú)關(guān)組；
3. 向量空間的基與維數(shù)，過(guò)渡矩陣及坐標(biāo)變換公式；
4. 向量空間的同構(gòu)及其性質(zhì)；
5. 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系及計(jì)算；
6. 齊次線性方程組的解空間與基礎(chǔ)解系，線性方程組的結(jié)構(gòu)式通解。
六、線性變換
1. 線性映射的概念及其相關(guān)性質(zhì)，線性映射與矩陣的關(guān)系；
2. 線性變換的概念及其相關(guān)性質(zhì)，線性變換與矩陣的關(guān)系；
3. 不變子空間及其性質(zhì)；
4. 線性變換的本征值和本征向量、方陣的特征值和特征向量；
5. 可以對(duì)角化的矩陣。
七、歐氏空間
1. 向量空間中向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、夾角的定義及性質(zhì)；
2. 規(guī)范正交基，Schmidt 正交化方法；
3. 正交變換與正交矩陣的定義和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換與鏡面反射變換的定義及性質(zhì)；
4. 正交補(bǔ)空間的定義及性質(zhì)，正射影的定義及計(jì)算；
5. 對(duì)稱變換的定義和性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化。
八、二次型
1. 二次型與對(duì)稱矩陣，矩陣的合同關(guān)系；
2. 復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型，慣性定理；
3. 利用配方法、初等變換、正交變換方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；
4. 正定二次型與正定矩陣的定義及性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣正定的判定條件；
5. 半正定二次型與半正定矩陣的定義及性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣半正定的判定條件。
參考書(shū)目：
《高等代數(shù)》(第五版)，張禾瑞、郝鈵新，高等教育出版社，2007 年。
考試須知：
考試總分：150 分；考試時(shí)間：3 小時(shí)；考試方式：筆試。
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